Paper Folding and Cutting: Notes और MCQ Practice

General Intelligence and Reasoning • SSC CGL, SSC CHSL

आसान भाषा में:

जब आप एक कागज़ को fold (fold) करके cut (cut) करते हैं, तो fold की संख्या और cut की position से shape की symmetry और number of pieces तय होते हैं। हर fold के बाद layers double हो जाते हैं, इसलिए cut की effect भी उसी हिसाब से बढ़ती है।

मुख्य फ़ॉर्मूले / Rules:

  • Number of layers after n folds = 2ⁿ.
  • Maximum pieces obtainable with n straight cuts = n(n+1)/2 + 1 (if cuts are not parallel).
  • If cut is made after folding, effective cuts = cuts × layers.
  • For a rectangular sheet folded n times, total pieces = 2ⁿ × (cuts after unfolding).

Quick Tricks:

  1. Fold‑and‑cut trick: एक बार fold करके cut करने से, एक ही cut से 2ⁿ pieces मिलते हैं।
  2. Symmetry check: अगर cut line sheet के centre से pass करती है, तो दोनों halves बराबर रहेंगे – calculation को halve कर दो।

Common Mistakes:

  • Mistake 1: Assuming each new cut adds only one extra piece; actually it adds cut number pieces (use n(n+1)/2 +1).
  • Mistake 2: Ignoring that folded layers double; cutting without counting layers gives under‑estimation of pieces.

Concept

Paper folding and cutting questions test your ability to visualise how many layers are created after folding a sheet of paper and how a single cut or a set of cuts will appear on the unfolded sheet. The key idea is that each time you fold a sheet in half, the number of layers doubles (2^n for n folds). A straight cut that goes through all layers will be reproduced on every layer when the paper is unfolded.

Important formulas / rules / facts

  • Number of layers after n folds = 2^n.
  • Length (or width) of each layer after folding = original length ÷ 2^n (when folding always in the same direction).
  • If a straight cut passes through all layers, total pieces after unfolding = (number of layers) × (pieces produced on the folded sheet).
  • When a sheet is folded into equal strips, each strip behaves like an independent layer.
  • For diagonal cuts on a rectangular folded sheet, the unfolded shape repeats symmetrically.

Solved Examples

Example 1

A rectangular sheet 20 cm × 30 cm is folded in half twice (first along the 30 cm side, then along the 20 cm side). A straight cut is made from one corner to the opposite corner of the folded sheet. How many pieces are obtained after unfolding?

Solution

  1. First fold halves the 30 cm side → dimensions become 20 cm × 15 cm, layers = 2.
  2. Second fold halves the 20 cm side → dimensions become 10 cm × 15 cm, layers = 4.
  3. On the folded sheet a single diagonal cut creates 2 pieces.
  4. Since the cut goes through all 4 layers, each layer is divided into 2 pieces.
  5. Total pieces after unfolding = 4 × 2 = 8 pieces.

Example 2

A square sheet of side 10 cm is folded so that one corner touches the midpoint of the opposite side, forming a crease. After unfolding, how many right‑angled triangles are formed?

Solution

  1. The described fold creates a single crease that is the altitude of a right triangle, dividing the square into 2 right‑angled triangles on the folded position.
  2. When unfolded, the crease is mirrored on the other half, giving a total of 4 right‑angled triangles.

Example 3

A sheet is folded repeatedly to obtain 8 equal strips (i.e., 3 folds). A single straight cut is made through all strips at a point 2 cm from one edge. After unfolding, how many separate pieces are there?

Solution

  1. 3 folds → layers = 2^3 = 8 strips.
  2. The cut divides each strip into 2 pieces.
  3. Total pieces = 8 × 2 = 16 pieces.

Example 4

A rectangular sheet 12 cm × 18 cm is folded three times, each time in half along the longer side. After folding, a single cut is made parallel to the shorter side, cutting through the whole folded stack. How many pieces are obtained after unfolding?

Solution

  1. Each fold halves the longer side (18 cm → 9 cm → 4.5 cm → 2.25 cm). After 3 folds, layers = 2^3 = 8.
  2. The cut on the folded sheet creates 2 pieces.
  3. After unfolding, pieces = 8 × 2 = 16 pieces.

Shortcuts and Tricks

  • Memorise that each half‑fold doubles the layers → use powers of 2 quickly (1,2,4,8,16…).
  • When the cut is a straight line, count how many separate segments the line creates on the folded sheet; then multiply by the number of layers.
  • For diagonal cuts on a rectangle folded equally in both directions, the number of pieces after unfolding is 2 × (number of layers).
  • Visualise the final unfolded pattern by sketching one layer and then replicating it the required number of times.

Common Mistakes to Avoid

  • Forgetting that a cut goes through all layers; counting only the outermost layer leads to under‑estimation.
  • Mixing up the direction of folding; folding along length vs. breadth changes which dimension is halved.
  • Assuming that a cut that does not pass through the whole stack will affect all layers; only cuts that intersect every layer replicate.
  • Ignoring symmetry; many problems produce identical pieces that can be counted once and then multiplied.

Practice MCQ (10)

  1. एक वर्गाकार कागज को बाएं से दाएं लंबवत रूप से आधा मोड़ा जाता है, और फिर ऊपर से नीचे क्षैतिज रूप से आधा मोड़ा जाता है। परिणामी छोटे वर्ग के ठीक बीच में एक गोलाकार छेद किया जाता है। कागज को पूरी तरह खोलने पर कौन-सा पैटर्न दिखाई देगा?

    • (A) 4 circular holes, one in each of the four quadrants
    • (B) 2 circular holes, one on top-left and one on bottom-right
    • (C) 1 circular hole in the exact center of the paper
    • (D) 8 circular holes along the outer edges

    उत्तर: (A)

  2. कागज के एक वृत्ताकार टुकड़े को बाएं से दाएं इसके लंबवत व्यास के अनुदिश आधा मोड़ा जाता है, और फिर नीचे से ऊपर इसके क्षैतिज व्यास के अनुदिश दोबारा आधा मोड़ा जाता है। मुड़े हुए चतुर्थांश-वृत्त (quarter-circle) के घुमावदार बाहरी किनारे पर एक त्रिकोणीय कट (notch) लगाया जाता है। खोलने पर कागज कैसा दिखाई देगा?

    • (A) 2 triangular notches along the top and bottom outer edges
    • (B) 4 triangular notches symmetrically distributed along the outer circumference
    • (C) 1 triangular notch at the exact center of the circle
    • (D) 8 triangular notches near the center of the circle

    उत्तर: (B)

  3. कागज के एक वर्गाकार टुकड़े को ऊपर-बाएँ से नीचे-दाएँ तिरछे (विकर्णतः) मोड़कर एक त्रिभुज बनाया जाता है। फिर इसे इसके शीर्षलंब के अनुदिश (ऊपर-दाएँ कोने से नीचे-बाएँ किनारे तक) दोबारा आधा मोड़ा जाता है। मूल वर्ग के ठीक केंद्र के संगत कोने को एक सीधे कट से काट दिया जाता है। जब कागज को पूरी तरह से खोला जाता है, तो कौन-सी आकृति दिखाई देती है?

    • (A) Four small square cuts at the four corners of the paper
    • (B) Two diamond-shaped holes along the diagonal
    • (C) One diamond-shaped (square) hole at the exact center of the paper
    • (D) Four circular holes near the edges

    उत्तर: (C)

  4. एक वर्गाकार कागज को बाएं से दाएं लंबवत आधा मोड़ा जाता है, फिर नीचे से ऊपर क्षैतिज रूप से आधा मोड़ा जाता है। प्राप्त ऊपर-दाएं चतुर्थांश पर, ऊपर-बाएं कोने (जो मूल कागज का केंद्र है) के पास एक गोलाकार छेद किया जाता है, और नीचे-दाएं कोने (जो मूल कागज का एक बाहरी कोना है) से एक त्रिकोणीय कट काटा जाता है। पूरी तरह खोलने पर, कागज पर कितने गोलाकार छेद और त्रिकोणीय कट होंगे?

    • (A) 4 circular holes grouped near the center and 4 triangular cuts at the outer corners
    • (B) 2 circular holes near the center and 2 triangular cuts at the outer corners
    • (C) 4 circular holes at the outer corners and 4 triangular cuts near the center
    • (D) 1 circular hole at the center and 4 triangular cuts on the side edges

    उत्तर: (A)

  5. कागज की एक वर्गाकार शीट को बाएं से दाएं लंबवत आधा मोड़ा जाता है, और फिर ऊपर से नीचे क्षैतिज रूप से आधा मोड़ा जाता है। लंबवत मोड़ रेखा (मुड़े हुए वर्ग के बाएं किनारे) के अनुदिश एक अर्धवृत्ताकार कट लगाया जाता है, और नीचे-दाएं कोने (शीट के बाहरी नीचे-दाएं कोने) पर एक त्रिकोणीय कट लगाया जाता है। जब शीट को पूरी तरह से खोला जाता है, तो उस पर कौन-सी आकृतियां दिखाई देंगी?

    • (A) 1 full circular hole at the center and 4 triangular cuts at the four outer corners
    • (B) 2 full circular holes on the vertical midline and 2 triangular cuts on the sides
    • (C) 4 semicircular cuts on the edges and 1 triangular cut at the center
    • (D) 2 full circular holes at the top and bottom edges and 4 triangular cuts near the center

    उत्तर: (A)

  6. कागज के एक वृत्ताकार टुकड़े को लंबवत आधा मोड़ा जाता है, फिर क्षैतिज रूप से आधा मोड़ा जाता है, और अंत में वृत्त का 1/8वाँ त्रिज्यखंड (sector) बनाने के लिए केंद्र से होते हुए विकर्णतः आधा मोड़ा जाता है। इस मुड़े हुए त्रिज्यखंड के बीच में एक वृत्ताकार छेद किया जाता है। पूरी तरह से खोले जाने पर, वृत्ताकार कागज पर कितने वृत्ताकार छेद दिखाई देंगे और वे कैसे व्यवस्थित होंगे?

    • (A) 4 circular holes arranged in a square pattern around the center
    • (B) 8 circular holes arranged symmetrically in a ring around the center
    • (C) 2 circular holes placed along the vertical diameter
    • (D) 16 circular holes arranged in two concentric rings

    उत्तर: (B)

  7. कागज की एक आयताकार शीट को दाएं से बाएं लंबवत रूप से आधा मोड़ा जाता है, और फिर से दाएं से बाएं लंबवत आधा मोड़ा जाता है (जिससे 4 लंबवत परतें बनती हैं)। मुड़ी हुई पट्टी के बीच में से एक लंबवत सममित, सीधा दिल (heart) का आकार काटा जाता है। बाएं से दाएं पूरी तरह खोलने पर, कागज पर दिल के आकारों का कौन-सा पैटर्न दिखाई देगा?

    • (A) 4 upright heart shapes arranged in a horizontal row across the paper
    • (B) 2 upright hearts and 2 upside-down hearts alternating in a horizontal row
    • (C) 4 heart shapes arranged in a 2×2 grid
    • (D) 2 upright hearts placed vertically above each other

    उत्तर: (A)

  8. एक वर्गाकार कागज को लंबवत (बाएँ से दाएँ) आधा मोड़ा जाता है, फिर क्षैतिज रूप से (ऊपर से नीचे) आधा मोड़ा जाता है। इसके बाद, परिणामी छोटे वर्ग को उसके ऊपर-बाएँ कोने (मूल कागज का केंद्र) से नीचे-दाएँ कोने (मूल कागज का कोना) को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश विकर्णतः मोड़ा जाता है। तीन कट लगाए जाते हैं: ऊपर-बाएँ शीर्ष पर एक त्रिभुजाकार खांचा, विकर्ण मोड़ रेखा के अनुदिश एक अर्धवृत्ताकार कट, और नीचे-दाएँ शीर्ष पर एक वर्गाकार कट। पूरी तरह से खोले गए कागज पर कौन सा पैटर्न दिखाई देगा?

    • (A) An 8-pointed star hole at the center, 4 full circular holes along the diagonals, and 4 diamond-shaped cuts at the outer corners
    • (B) 4 circular holes at the center, 8 semicircles on the outer edges, and 2 diamond cuts
    • (C) 1 square hole at the center, 8 full circular holes along the edges, and 4 triangular cuts at the corners
    • (D) 2 star-shaped holes near the top and bottom, 4 circular holes along the vertical midline, and no cuts at the outer corners

    उत्तर: (A)

  9. एक आयताकार कागज को एकॉर्डियन Z-मोड़ (Z-fold) में 3 बराबर क्षैतिज भागों में मोड़ा जाता है (ऊपरी एक-तिहाई आगे की ओर, निचला एक-तिहाई पीछे की ओर)। फिर मुड़ी हुई पट्टी को बाएं से दाएं ऊर्ध्वाधर रूप से आधा मोड़ा जाता है। मुड़े हुए टुकड़े पर दो कट लगाए जाते हैं: बाएं ऊर्ध्वाधर किनारे (ऊर्ध्वाधर मोड़ रेखा) पर एक त्रिकोणीय खांचा (कट) और केंद्र में एक गोलाकार छिद्र। कागज को खोलने पर छिद्रों की कुल संख्या और व्यवस्था क्या होगी?

    • (A) 3 diamond-shaped holes along the central vertical midline and 6 circular holes in two vertical columns of 3
    • (B) 6 diamond-shaped holes along the vertical midline and 3 circular holes in a horizontal row
    • (C) 2 diamond-shaped holes at the corners and 4 circular holes at the center
    • (D) 1 diamond-shaped hole at the center and 3 circular holes along the horizontal midline

    उत्तर: (A)

  10. एक वर्गाकार कागज को विकर्णतः आधा मोड़कर, फिर शीर्षलंब के अनुदिश दो बार मोड़कर 8 त्रिभुजाकार त्रिज्यखंडों (प्रत्येक 45°) में मोड़ा जाता है। परिणामी 1/8वें त्रिज्यखंड त्रिभुज पर तीन कट लगाए जाते हैं: (1) मूल कागज के केंद्र का प्रतिनिधित्व करने वाले शीर्ष कोने को सीधा काटा जाता है, (2) मुख्य लंबवत/क्षैतिज मध्य रेखा पर स्थित भुजा मोड़ रेखा के अनुदिश एक अर्धवृत्ताकार कट लगाया जाता है, और (3) त्रिज्यखंड के अंदर एक छोटा वृत्ताकार छेद किया जाता है। पूरी तरह से खोलने पर, कौन-सा विवरण कागज के पैटर्न से मेल खाता है?

    • (A) 1 regular octagonal hole at the center, 4 full circular holes along the horizontal and vertical axes, and 8 small circular holes in a ring
    • (B) 1 circular hole at the center, 8 octagonal holes along the edges, and 4 small circular holes in a square
    • (C) 4 square holes near the center, 8 circular holes along the diagonals, and no central hole
    • (D) 1 octagonal hole at the center, 8 full circular holes along the diagonals, and 4 small circular holes near the corners

    उत्तर: (A)